Розвиток професійної компетентності майбутнього спеціаліста шляхом розв'язування логічних задач

Міністерство освіти і науки України

Департамент науки і освіти

Харківської обласної державної адміністрації

Харківська обласна рада

Красноградський коледж

Комунального закладу

«Харківська гуманітарно-педагогічна академія»

Харківської обласної ради

Розвиток професійної компетентності майбутнього спеціаліста шляхом розв’язування логічних задач

           

Методична розробка

Укладач: Колесник Л.Д.,

викладач математики

Красноград 2012

УДК

Укладач:  Колесник Людмила Дмитрівна – викладач математики, спеціаліст вищої категорії, викладач-методист.

Рецензенти:  Слабінська Любов  Дмитрівна – заступник директора з навчальної роботи, спеціаліст вищої категорії, викладач-методист.

           Босенко Марина Вікторівна -  голова циклової комісії викладачів інформатики, спеціаліст вищої категорії.

Методичні рекомендації складені відповідно до робочої програми курсу «Розв’язування задач в початковій школі». Вони містять теоретичний матеріал, приклади розв’язування логічних задач, а також практичні матеріали для перевірки засвоєння вивченого матеріалу.

Методичні рекомендації можуть бути використані викладачами та студентами  у процесі вивчення зазначеної навчальної дисципліни

Схвалено на засіданні циклової комісії викладачів

фізико-математичних дисциплін та інформатики

Красноградського коледжу Комунального закладу «Харківська гуманітарно-педагогічна академія»

Харківської обласної ради

Протокол № 1 від «06» січня   2012 року

Голова циклової комісії  _________     Л.Д. Колесник

Затверджено на засіданні

Методичної ради

Красноградського коледжу

Комунального закладу «Харківська

гуманітарно-педагогічна академія»

 Харківської обласної ради

Протокол № __ від «__» _________ 2012 року

Голова навчально-методичної ради                      Л.Д.Слабінська

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА……………………………………………4

1. МЕТОДИКА РОБОТИ НАД ЗАДАЧАМИ З ЛОГІЧНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ У КІРСІ МАТЕМАТИКИ ПОЧАТКОВИХ КЛАСІВ…………6

1.1.   Методика роботи над задачами на планування найгіршого варіанта...........................................................7

1.2.   Методика роботи над задачами, які розв'язуються з кінця…………................................................................13

1.3. Методика роботи над задачами на знаходження маси тіл………..................................................................20

1.4. Методика роботи над задачами на справедливий розподіл предметів……………….....………………….24

1.5. Методика роботи над задачами на знаходження компонентів при відомих значеннях суми, різниці………………………………………………......28

1.6. Методика роботи над комбінованими задачами з логічним навантаженням………………………..…….30

2. САМОСТІЙНІ РОБОТИ З ВЗАЄМОПЕРЕВІРКОЮ…………………….…...….34

2.1 Задачі на планування найгіршого варіанта……………………………………………........34

2.2. Самостійне розв’язування задач, які розв’язуються з кінця…………................................................................37

2.3. Самостійне розв’язування задач на знаходження маси тіл………………………………………………....40

2.4. Самостійне розв’язування задач на знаходження компонентів при     відомих значеннях суми, різниці……………………………………………..........42

3. ЗАВДАННЯ ДЛЯП РАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ.......45

ПІСЛЯМОВА…………………………………………51

ЛІТЕРАТУРА……………………………...………….53

ПЕРЕДМОВА

            Збагачення творчого потенціалу суспільства належить до одного з найважливіших соціально-педагогічних пріоритетів, що зумовлює розвиток сучасних підходів до змісту професійної підготовки пе­дагогічних кадрів, нових вимог до особистісної готовності вчителів до орієнтації на творчу діяльність. Виходячи з основних документів про освіту, провідна стратегія курсу «Розв’язування задач  в початковій школі»  —поліпшення особистісної підготовки майбутнього вчителя до професійно-конструктивної діяльності.

            Мета  — розширити знання та вдосконалити професійні уміння студента в організації й ак­тивізації навчально-творчої діяльності під час проходження педагогічної практики з цього предмета.

            Завдання :

•      збагатити знання студента про ефективність уроків математики;

•      розкрити механізми організації конструктивної взаємодії в підсистемах «учитель — клас», «учитель — учень», «учень — учень», «учень — клас» у процесі розв'язування текстових арифметичних за­дач, алгебраїчних та геометричних завдань;

•      збагатити досвід студента методами і прийомами активізації навчально-творчої діяльності під час проходження педагогічної практики;

•      розкрити зміст поняття «завдання з логічним навантажен­ням», надати методичні рекомендації щодо впровадження зазначених завдань у навчально-виховний процес на уроках математики.

Для реалізації мети і завдань дисципліни «Розв’язування задач  в початковій школі»   доцільно запропонувати студентам  розділ  «Методика роботи над задачами з логічним навантажен­ням в курсі математики початкових класів».

 Важливо навчити студентів елементарних правил свідомого міркування, вміння мислити й висловлювати свою думку зрозуміло, чітко й переконливо. Для цього знання основ наук замало. Студентам необхідно знати правила і закони логіки, у них мають бути сформовані логічні вміння, розвинуте логічне мислення.

Пізнання – це діалектичний процес відображення світу в свідомості студентів; це рух думки від незнання до знання, від неповного й неточного знання до повнішого та чіткішого.

Викладач, який буде викладати цей розділ повинен дотримуватися таких основних положень:

1. МЕТОДИКА РОБОТИ НАД ЗАДАЧАМИ З ЛОГІЧНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ У КІРСІ МАТЕМАТИКИ ПОЧАТКОВИХ КЛАСІВ.

Методичний посібник «Розвиток професійної компетентності майбутнього спеціаліста шляхом розв’язування логічних задач» входить до навчальної дисципліни «Методика навчання математики».

До завдань (задач) з логічним навантаженням ми відносимо зав­дання (задачі), в яких зв'язки між даними і шуканим висловлено не­чітко. Тому в процесі роботи необхідно розкрити і встановити існуючі зв'язки. Успішне розв'язання зазначених завдань залежить від умін­ня учня логічно і творчо мислити, бути кмітливим, здатності вести цілеспрямований пошук плану, будувати складні судження-міркування зі сполучниками: і, чи, якщо,... то. Зміст кожного завдання з логічним навантаженням дає змогу учням включати в пошук розв'язання до­тепні міркування і певне розмірковування, цілісно і синтетичне уяви­ти і, завдяки цьому, глибоко вникнути в ситуацію, спланувати свої дії на три — чотири кроки вперед, передбачити результат (навіть і нега­тивний) і на основі цих умінь — вибрати ланцюжок дій, який най­більш швидко та економко приведе до очікуваного результату.

Пропонуємо розглянути методику роботи над такими видами за­дач з логічним навантаженням:

•      задачі на планування найгіршого варіанта;

•      задачі, які розв'язуються з кінця;                         

•      задачі на знаходження маси тіл;

•      задачі на справедливий розподіл предметів;

•      задачі на знаходження компонентів при відомих значеннях суми, різниці;

•      комбіновані задачі з логічним навантаженням.

1.1. Методика роботи над задачами на планування найгіршого   варіанта.

            Ці задачі можна умовно розділити на два блоки. Перший блок: задачі про предмети, які не мають пари. Це можуть бути різнокольорові кульки, олівці, пиріжки з різною начинкою тощо. Розглянемо задачу.

     У шухляді лежать однакові за розміром кульки. Відрізняють­ся вони одна від одної тільки кольором: 12 білих, 5 жовтих, 9 синіх,  7 червоних.   Скільки кульок треба вийняти із шухляди, не зазираючи в неї, щоб серед вийнятих кульок обов'язково були:

а)  3 сині кульки?                                           

б)  по 3 кульки різного кольору?

в)  3 кульки одного якогось кольору?                                        

г)  8 кульок одного якогось кольору?

            Спланувати в цій ситуації свої дії з метою досягнення бажаного результату неможливо. Наприклад, у завданні а) нам може пощасти­ти відразу — дістанемо одну за одною 3 сині кульки. Але може бути так: дістали спочатку синю кульку, потім — жовту, а далі — одна за одною 2 сині кульки. І таких розв'язків може бути безліч. Ми ніколи не зможемо передбачити, скільки треба вийняти кульок, щоб отрима­ти такий набір, у якому будуть обов'язково три сині. Єдиним спосо­бом розв'язання таких задач є планування найгіршого варіанта.

У завданні а) найгіршим варіантом стане така ситуація: дістаємо всі кульки, окрім синіх, і, врешті-решт, коли в шухляді залишаться тільки сині, дістаємо 3 сині. Тому розв'язання таке: 12 + 5 + 7 + 3 = 27 (к.). Після виконання аналогічних завдань учні можуть самостійно дій­ти висновку, тобто сформулювати найгірший варіант для ситуацій, в яких треба вийняти певну кількість кульок (інших предметів) одного й того самого кольору навмання (не зазираючи в шухляду, в темній кімнаті тощо). Найгірший варіант для зазначених ситуацій такий: виймаємо всі кульки (інші предмети), окрім кульок (інших предметів) того кольору, який потрібно вийняти, і наприкінці, коли в шухляді (кімнаті тощо) залишаються тільки ті кульки (інші предмети), які запропоновано вийняти, виймаємо, нарешті, їх потрібну кількість.

У завданні б) найгіршим варіантом стане така ситуація: дістає­мо спочатку 12 білих кульок, бо їх найбільше, потім — 9 синіх кульок (саме вони в цьому наборі за кількістю йдуть після білих). Далі — 7 червоних і, нарешті, — 3 жовті. Отже, розв'язання таке: 12 + 9 + 7 +3 = 31 (к.).

Після розв'язання аналогічних завдань учні можуть самостійно дійти висновку, тобто сформулювати найгірший варіант для ситуа­цій, в яких треба вийняти певну кількість кульок (інших предметів) кожного із запропонованих кольорів навмання (не зазираючи в шух­ляду, в темній кімнаті тощо). Найгірший варіант для зазначених си­туацій такий: виймаємо спочатку всі кульки (інші предмети) того ко­льору, яких найбільше, потім ті, яких трохи менше, далі ті, яких ще менше, і наприкінці, серед тих кульок (інших предметів), яких най­менше, виймаємо ту кількість, яку потрібно вийняти.

Найгірший варіант у завданні в) такий: нам трапляються кульки різних кольорів. Ми виймаємо по дві кульки кожного кольору, і тіль­ки наступна кулька буде до якогось кольору третьою. Отже, слід вийняти 2-4+1=9 кульок. Тут вчителю треба звернути увагу уч­нів, що множимо саме два на чотири, а не навпаки, бо чотири кольо­ри, тобто по два ми виймаємо чотири рази.

У завданні г) можна діяти по-різному. Тут ми не можемо, як у по­передньому завданні, вийняти по 7 кульок кожного кольору, а потім дістати ще одну, бо не всі кольори в наборі мають таку кількість ку­льок. Тому можна вийняти по 5 кульок кожного кольору (це макси­мальна кількість кульок, яку можна вийняти кожного кольору), потім — по 2 кульки синіх, червоних і білих і, нарешті, ще одну, яка буде вось­мою: або синьою, або білою. Отже, треба вийняти 5-4 + 2-3 + 1 = 27 кульок. Але можна обчислити раціональніше: вийняти по 7 кульок тих кольорів, які можливо, а це червоні, сині і білі, потім кульки інших ко­льорів, яких менше, ніж 7, вийняти повністю і, нарешті, ще одну. От­же, підрахунок матиме такий вигляд: 7 • 3 + 5 + 1 = 27 кульок.

Другий блок складають задачі про предмети, які мають пару, ру­кавички, чоботи, панчохи, шкарпетки тощо. Наприклад, детально розбираємо з учнями таку задачу: «В темній кімнаті у шафі лежать поштучно 8 пар чорних, 10 пар зелених та 5 пар коричневих рукавичок одного розміру. Скільки рукавичок треба вибрати із шафи навмання, щоб серед вийнятих обов'язково була:

а)  пара рукавичок одного (будь-якого) кольору;

б)  по одній парі рукавичок кожного кольору».

Спочатку вчитель пропонує учням визначити, якого виду ця зада­ча (на планування найгіршого варіанта, бо розв'язків може бути без­ліч). Це і є підготовчий етап роботи над завданням. Потім — розв'язу­ємо завдання а). Вчитель надає учням можливість самостійно знайти найгірший варіант. Як правило, школярі формулюють такий: вибира­ємо спочатку одну чорну, потім — одну зелену, а потім — коричневу, а наступна — буде до пари рукавичок — чи чорна, чи зелена, чи ко­ричнева. Отже, необхідно всього вийняти чотири рукавички.

Якщо ніхто з учнів не зможе спрогнозувати найгірший варіант, то бажано далі продовжити роботу так.

Насамперед учителю потрібно дати одному з учнів дві рукавички однакового кольору (наприклад, чорні) і запропонувати їх одягнути. Дитина не може цього зробити, бо обидві рукавички хоч і однакового кольору, але на одну й ту саму руку. Саме в цей момент у цієї дитини або в інших учнів може раптово виникнути ідея: в парі повинні бути ру­кавички не тільки однакового кольору, а й на різні руки — праву і лі­ву. Така робота приведе учнів до знаходження найгіршого варіанта: треба вибрати всі рукавички одного кольору, скажімо, чорні, на одну руку, наприклад, на праву, потім всі рукавички іншого кольору, мож­ливо, коричневі, на іншу руку, скажімо, на ліву (чи на ту саму руку), далі — всі зелені теж на одну якусь руку, і, нарешті, наступна, вийня­та нами рукавичка, буде до пари або чорних, або коричневих, або зеле­них. Отже, треба вийняти 8 + 5 + 10+1= 24 рукавички.

Виконуючи завдання б), учні можуть самостійно здогадатися, що треба спочатку вийняти всі, і на праву, і на ліву руки, зелені рукавички, бо їх найбільше, далі — всі чорні, бо їх трішки менше, а потім мо­жуть зробити помилку, сказавши, що треба вийняти 2 коричневі. То­ді вчителю необхідно звернути увагу дітей на те, що 2 рукавички мо­жуть бути на одну й ту саму руку і тоді пари не вийде. Таким чином, учні зможуть усвідомити помилку і самостійно виправити її: далі тре­ба виймати всі коричневі рукавички на одну руку і, нарешті, наступ­на коричнева рукавичка вже буде до пари. Отже, слід вийняти 10 + + 10+ 8 + 8 + 5+1= 42 рукавички. Бажано звернути увагу дітей на те, що обчислювати можна, використовуючи дію множення, бо є су­ма однакових доданків, тобто вирази 10+ 10 та 8 + 8 замінити на ви­рази 10 • 2 та

 8 • 2, а потім скористатися властивістю множення суми на число, і тоді вираз матиме такий вигляд: (10 + 8) -2 + 5 + 1= 42 рукавички. Працюючи над завданням б), вчитель може запитати: «Що зміниться, якщо постане завдання отримати по 2 пари рукавичок кожного кольору?» Учні мають самостійно дійти висновку, що зміни відбудуться наприкінці, коли залишаться рукавички на одну руку то­го кольору, яких найменша кількість, тобто коричневі, їх треба вийня­ти не одну, а дві. В результаті необхідно вибрати 43 рукавички.

Потім учитель може запропонувати учням аналогічні задачі, роз­ширивши набір кольорів. Після цього необхідно сформулювати най­гірший варіант до ситуацій, які описані в завданнях а) та б). Отже, найгірший варіант для ситуації, описаної в завданні а), такий: спо­чатку виймаємо всі предмети (всіх запропонованих в умові кольорів) на одну якусь руку чи ногу (шкарпетки, чоботи тощо), потім з нас­тупним, вибраним нами предметом, ми вже зможемо утворити пару предметів якогось кольору. Причому порядок, в якому ми вибирати­мемо предмети певного кольору, — довільний. Найгірший варіант для ситуації, описаної в завданні б), такий: ми спочатку виймаємо ті предмети, яких найбільша кількість, причому і на праву, і на ліву ру­ки (ноги), потім ті, яких трохи менше, так само — і на праву, і на лі­ву руки (ноги) тощо, доти, доки не залишаться пари предметів того кольору, яких найменша кількість. Тоді виймаємо предмети цього кольору на одну руку (ногу) і, нарешті, з наступним, вибраним нами предметом цього кольору, ми вже зможемо теж утворити пару. Заува­жимо порядок, за яким вибиратимемо предмети з метою появи по од­ній парі кожного кольору, чітко визначений: від вибору предметів то­го кольору, яких найбільше, до вибору предметів того кольору, яких найменше. У цих завданнях не можна забувати, що предмети одного й того ж кольору на праву і на ліву руки (ноги) різняться між собою.

 1.2 Методика роботи над задачами, які розв'язуються з кінця.                            

Ці задачі можна умовно розділити на два блоки.

Перший блок складають задачі, під час розв'язування яких учні можуть графічно побудувати «ланцюжок» послідовних дій за її умо­вою, а потім здійснювати розв'язання з кінця: виконувати певні дії, обернені до тих, що подані у «ланцюжку». Саме з таких задач бажа­но розпочинати ознайомлення із задачами, які розв'язуються з кінця.

Для колективного розбору можна запропонувати таку задачу:

• Лисиця Аліса і кіт Базиліо привели Буратіно на пустир і ска­зали: «Це Поле чудес. Якщо ввечері закопаєш тут золоті монети, то вранці виросте дерево, на якому буде втричі більше золотих монет. Потім зібрані монети можна знову закопати в землю —  знову ви­росте дерево з монетами, їх також: стане втричі більше, ніж: було до цього. Закопай свої монети, а ми охоронятимемо». За послуги лисиця та кіт попросили Буратіно після кожного врожаю віддавати їм по 9 монет. Подумавши трохи, Буратіно не погодився з їхніми умовами. Він сказав, що після двох врожаїв у нього зовсім не залишиться гро­шей. Скільки золотих монет було у Буратіно?

З метою кращого усвідомлення учнями порядку подій, які відбу­лися за змістом задачі, вчитель може запропонувати відтворити їх «ланцюжок» графічно. Заздалегідь учитель домовляється з дітьми про те, що операцію збільшення (зменшення) в декілька разів будемо показувати дужкою: , а збільшення (зменшення) на декілька одиниць — горизонтальною лінією:_______. Над графічним зобра­женням напишемо, у скільки разів чи на скільки відбулося збільшен­ня або зменшення. За сюжетом у змісті задачі два етапи — два вро­жаї. Етапи будемо відокремлювати один від одного за допомогою вертикальної рисочки. У процесі роботи над графічним зображенням «ланцюжка» учнями проговорюється кожна дія. У цій задачі тлума­чення дій буде таким: починаємо з рисочки, біля якої ставимо знак питання — нам невідомо, скільки монет було у Буратіно спочатку. Потім ставимо дужечку, бо відбулося збільшення монет у три рази. Над дужечкою пишемо: помножити на три, далі — лінія, над якою за­писуємо мінус дев'ять (9 монет віддав лисиці і коту). Ставимо верти­кальну рисочку, яка фіксує, що завершилася перша подія і розпоча­лася друга, у якій такі ж самі дії повторюються, тобто графічний ма­люнок буде такий самий, як і в першому випадку. По завершенню другої події ставимо вертикальну рисочку, біля якої пишемо число нуль (у Буратіно грошей не залишилось). Так, за змістом цієї задачі отримаємо таку схему-«ланцюжок»:

Потім учитель говорить, що подібні задачі треба розв'язувати з кінця, тобто виконувати дії, обернені до тих, що подані у «ланцюж­ку». Краще розв'язання виконати в два кроки, бо за змістом задачі було два врожаї. Мета першого кроку — знаходження кількості зо­лотих монет, які були у Буратіно перед другим урожаєм, другого кроку — кількості золотих монет, які були у Буратіно перед першим урожаєм, тобто скільки було монет у Буратіно спочатку. У кожному кроці буде по дві арифметичні дії. Розв'язання матиме такий вигляд:

1) (0 + 9): 3 = 3 (м.) — було у Буратіно перед другим врожаєм;

2) (3 + 9): 3 = 4 (м.) — було у Буратіно перед першим врожаєм. Відповідь:4 монети було у Буратіно спочатку.

Під час розв'язування важливо, щоб учні усвідомили, що треба спочатку додавати дев'ять, а потім ділити на три (а не навпаки!), бо нам слід виконати дії у зворотному порядку послідовно. Необхідно, щоб учні ще раз звернули увагу на умову задачі і на графічну схему, з якої видно, що у Буратіно спочатку гроші втричі збільшувались, а потім дев'ять монет він віддавав лисиці та коту. А в зворотному по­рядку все навпаки: спочатку «повертаються» дев'ять монет (+9), а потім зменшуються втричі (:3). Можна олівцем під другою рисочкою у схемі записати число 3 — монети, які були у Буратіно перед другим урожаєм, а під першою рисочкою число 4 — монети, які були у Бура­тіно спочатку. Ці числа, які діти поставлять у схемі, дадуть їм змогу усвідомити, що вже після першого врожаю кількість золотих монет у Буратіно на одну зменшиться. Отже, в кінці розв'язання схема-«ланцюжок» матиме такий вигляд:

Потім можна за цією схемою перевірити себе, міркуючи вже від початку (знайденого числа 4) до завершення сюжету задачі (числа 0 — монет не залишилося зовсім). Після детального розбору описаної вище задачі вчитель може запропонувати учням розв'язати самостій­но аналогічні. Приклади таких задач подано наприкінці параграфа.

Після того, як учні навчаться розв'язувати задачі першого блоку, їх можна ознайомити із задачами другого.

Другий блок складають задачі, у процесі розв'язування яких учні поряд з алгоритмічними прийомами більшою мірою (порівняно з пер­шим підвидом) застосовують евристичні прийоми інтелектуальної ді­яльності. За змістом у цих задачах відбувається розподіл предметів переважно між трьома (двома) особами або розкладають предмети у дві (три) купки, в результаті чого відомий кінцевий результат. Треба дізнатися, скільки предметів було у купках (у людей) спочатку. Учні полегшать собі розв'язування, якщо цей процес вони оформлювати­муть у вигляді таблиці.                                                                     Для колективного розбору можна запропонувати таку задачу:

 • Три брати розподілили між собою 24 яблука так, що кожен із них отримав стільки яблук, скільки йому років. Молодший брат, який не був задоволений розподілом, бо отримав найменше від усіх яблук, запропонував: «Я залишу собі тільки половину своїх яблук, решту роз­ділю між: вами порівну. Після мене нехай спочатку середній, а потім і старший брати зроблять так само, як і я». Брати погодилися, і яблук врешті-решт у всіх стало порівну. Скільки років кожному з братів?

Між учителем та учнями може відбутися такий проблемно-пошу­ковий діалог.

— Як по-іншому можна сформулювати запитання задачі?

— Скільки яблук було у кожного з братів спочатку?

— Ця задача розв'язується з кінця. Для того, щоб її розв'язати з кінця, треба знати, скільки яблук стало у кожного з братів в кінці розподілу. Чи відомо нам це за умовою задачі?

— Ні, але нам відомо, що яблук врешті-решт стало порівну. Отже, ми можемо дізнатися, скільки яблук стало у кожного з братів напри­кінці розподілу. Для цього треба 24 розділити на 3. По 8 яблук стало у кожного з братів.

З цього моменту бажано накреслити з учнями таблицю і поступо­во заповнювати її.

Молодший брат	Середній брат	Старший брат

Отже, можна заповнити перший рядок: у кожному стовпчику за­писати число 8.

— Після якої події у кожного з братів стало по 8 яблук?

— Після того, як старший віддав половину своїх яблук середньо­му і молодшому з братів.

— Скільки було яблук у старшого брата до того моменту, як він віддав половину своїх яблук?

— У нього було вдвічі більше, ніж стало, тобто 8-2=16 яблук.

— Нагадайте, що зробив старший брат з половиною своїх яблук?

— Він їх віддав порівну середньому і молодшому, тобто віддав (8 : 2) по 4 яблука кожному.

— Скільки було яблук у середнього і молодшого з братів до того моменту, як їм старший брат дав свої яблука?

— У них було по 4 яблука, тобто вдвічі менше, ніж стало. Отже, можна заповнити другий рядок, записати: в першому стов­пчику число 4, у другому — 4, у третьому — 16.

Далі учні міркують аналогічно і вже без додаткових запитань учи­теля можуть визначити, що перед тим, як віддавав свої яблука серед­ній з братів, у нього було 42 = 8 яблук, а у старшого і молодшого — на 2 яблука менше, ніж до того, як їм дав свої яблука середній брат (середній брат їм віддав половину, тобто 4:2 = 2 яблука). Отже, мож­на заповнити третій рядок, записати: в першому стовпчику число 2, у другому — 8, у третьому — 14.

Так само учні міркують: перш ніж віддавав молодший свої яблу­ка, у нього було 2-2 = 4 яблука, а у середнього і старшого — на од­не яблуко менше, ніж до того, як їм дав свої яблука молодший брат(молодший брат їм віддав половину, тобто 2:2=1 яблуко). Отже, можна заповнити четвертий рядок, записати: в першому стовпчику число 4, в другому — 7, у третьому — 13. Четвертий рядок показує кількість яблук, яка була у кожного з братів спочатку або кількість років кожного з братів: молодшому — 4, середньому — 7, а старшо­му — 13 років.

Молодший брат	Середній брат	Старший брат
8	8	8
4	4	16
2	8	14
4	7	13

Потім необхідно перевірити правильність розв'язання, міркуючи від знайдених чисел. Пояснення учнів має бути таким: молодший брат віддав половину своїх яблук середньому і старшому, порівну кожному. Отже, у молодшого залишиться 2 яблука, у середнього ста­не 8, а у старшого — 14 яблук, тобто на одне яблуко більше, ніж бу­ло. Коли ж ці самі операції виконають відповідно середній і старший брати, то врешті-решт залишиться у кожного по 8 яблук (див. табл.). Отже, задача розв'язана правильно. Вчителю доцільно поставити за­питання: «Хто з братів у результаті цього розподілу програв?» (Стар­ший брат, бо у нього спочатку було 13 яблук, а в результаті стало 8).

1.3. Методика роботи над задачами на знаходження маси тіл.

З метою вдосконалення навичок розв'язування рівнянь можна

оз­найомити учнів із задачами на знаходження маси тіл. На підготовчо­му етапі роботи вчитель розповідає учням, що в задачах цього виду в основному використовують шалькові терези, які, за умовою, перебу­вають у рівновазі. Необхідно пояснити школярам, що рівність не по­рушиться, якщо виконувати такі операції:

•      знімати з правої та лівої шальок терезів (або з обох частин рівності) вантаж однакової маси;

•      замінювати певний вантаж іншим, однакової маси з попереднім;

•      збільшувати або зменшувати вантаж правої та лівої частин рівності в однакову кількість разів.

Спочатку вчителю бажано ознайомити учнів із задачами, для розв'язання яких достатньо виконати одну чи дві з названих опера­цій над рівністю.

Наприклад:

•      На одній шальці терезів знаходяться 6 однакових пачок чаю та гиря

в 50 г, на іншій — 1 така пачка чаю, 2 гирі, по 50 г кожна, та 2 гирі, по 100 г кожна. Терези знаходяться в рівновазі. Скільки грамів важить пачка чаю?

Розпочати роботу над цією задачею доцільно з усвідомлення учня­ми її змісту, а саме: розуміння ними змісту поняття «шалькові тере­зи» (можна запитати дітей, де вони бачили шалькові терези, вчителю слід на дошці схематично намалювати шалькові терези, які знахо­дяться в рівновазі), необхідно повторити з учнями, що означає одна­кові (такі самі) пачки чаю. Потім треба запропонувати дітям записа­ти у вигляді рівності умову задачі. У зошитах буде такий запис: 6 п.  + 50 г = 1 п + 50 г + 50 г + 100 г + 100 г. Далі вчитель говорить: «Для того, щоб знайти масу пачки чаю, нам треба виконати дві операції над цією рівністю».

— Яку операцію нам треба виконати першою?

Якщо учням важко відповісти на це запитання, то вчитель пропо­нує вказівку: нам треба виконати таку операцію, щоб на одній шаль­ці терезів залишились тільки пачки чаю, а на другій — тільки гирі.

Орієнтуючись на цю вказівку, учні можуть свої міркування побу­дувати так: на лівій шальці терезів залишимо тільки пачки чаю, на правій — тільки гирі; для того, щоб не порушити рівність, нам треба зліва і справа зняти по одній пачці чаю та по одній гирі в 50 г. Учні можуть у самій рівності олівцем надписати, що вони роблять,а потім записати нову рівність:5 п. = 250г.

— Яку операцію виконуватимемо другою?

На це запитання учні можуть відповісти самостійно: треба праву і ліву частини рівності зменшити в 5 разів. Отримаємо таку рівність: 1 п. = 50 г. Ця рівність і буде відповіддю на запитання задачі. В зо­шитах учні оформлюють розв'язання задачі так:

-1 п. - 50 г     -1 п.  - 50 г

6 п. + 50 г = 1 п. + 50 г + 50 г + 100 г + 100 г

: 5          :5                                                                      

5п. = 250г                                                       

1п. = 50г

Після опрацювання з учнями подібних завдань учитель пропонує задачі, для розв'язання яких треба виконати всі три з описаних вище операцій над рівністю. Наприклад, така задача:

• Три яблука і один ананас важать стільки, скільки 10 персиків; шість персиків та одне яблуко врівноважують один ананас. Скільки треба взяти персиків, щоб урівноважити один ананас?

Почати роботу над цією задачею бажано із запису учнями в зошит умови задачі у вигляді рівностей:

3 ябл. + 1 ан. = 10 п.;

6 п. + 1 ябл. = 1 ан.;

? п. = 1 ан.

Розбір задачі доцільно здійснити від запитати.

— Що нам треба знайти?                                                   

— Кількість персиків, маса яких буде така ж, як одного ананаса.

— Вага яких фруктів, за умовою задачі, врівноважує один ананас?

— 6 персиків та 1 яблуко.

Далі учні можуть самостійно дійти висновку: нам треба знайти, скількома персиками можна замінити 1 яблуко. Але здогадатися, як це знайти, учням ще складно. Тому вчитель дає вказівку: знайдіть таку операцію, яка допоможе нам у першій рівності залишити тільки яблука і персики. Якщо учні не зможуть це зробити, то вчитель ста­вить навідні запитання:

— Що ще з фруктів, крім яблук і персиків, є в першій рівності?

— Ще є один ананас.

— Чи можна замінити його іншими фруктами, маса яких така ж, як і маса ананаса?

— Можна замінити 6-ма персиками та 1-м яблуком (за другою рів­ністю).

— Якою операцією скористаємося?

— Замінимо в першій рівності одні фрукти іншими, однаковими за масою.

— Яку рівність отримаємо?

— З ябл. + 6 п. + 1 ябл. = 10 п.

Учні одразу записують цю рівність у зошит і працюють над її спрощенням, тобто в лівій частині до 3-х яблук додають одне. Отри­маємо таку рівність: 4 ябл. + 6 п.=10 п.

— Яку наступну операцію застосуємо до цієї рівності?

— Знімемо справа та зліва однакову вагу — 6 персиків. Отримає­мо таку рівність: 4 ябл. = 4 п.

Далі учні можуть без додаткових запитань учителя сказати, що тепер вони зменшать праву і ліву частини рівності в 4 рази і отрима­ють:

 1 ябл. = 1 п. Не викличе труднощів і подальше розв'язання: за­мість одного яблука в другу рівність умови запишемо 1 персик. От­же, 1 ан. = 6 п. + 1п. = 7 п. — маса одного ананаса дорівнює масі семи персиків.

1.4. Методика роботи над задачами на справедливий розподіл предметів.

З метою закріплення вміння розв'язувати задачі на пропорційне ді­лення можна ознайомити учнів із задачами на справедливий розподіл предметів. Це задачі, в змісті яких є трійка пропорційних величин: ціна, кількість, вартість. У цих задачах пропонується здійснити справедли­вий розподіл предметів (переважно грошей) між тими, хто брав участь у спільній справі. Залежить цей розподіл від внеску кожного у спільну справу. Розподіл грошей або інших предметів буде тоді справедливий, коли внесок кожного учасника спільної справи буде однаковим.

Пропонуємо учням для колективного розбору таку задачу:

• Сашко та Михайлик у неділю пішли разом на прогулянку до зоопарку. Дорогою Сашко купив 5 пиріжків з м'ясом, а Михайлик — 3 таких пиріжки. В зоопарку вони зустріли свого однокласника Рома­на і потім гуляли вже втрьох. Обідали вони теж разом — з "їли всі пи­ріжки. Завершуючи обід, Роман залишив хлопцям 80 к. Як ці гроші ма­ють розділити між: собою Сашко та Михайлик справедливо?

Вчитель має пояснити дітям, що означає «справедливо»: витрати кожного на цей обід повинні бути однаковими. Далі вчитель продов­жує пояснення: ми орієнтуємося на ту суму, яку залишив Сашкові та Михайлику Роман — на 80 к. Отже, витрати кожного мають бути на суму 80 к. Далі вчитель будує діалог з учнями.

— Уявімо, що кожний витратив 80 к. Дітей було троє. Скільки ж коштував весь обід, тобто 8 пиріжків?

— Треба 80 помножити на 3. Отже, весь обід, 8 пиріжків, кошту­вав 240 к.

— Що тепер ми можемо знайти?

— Можемо знайти ціну пиріжка. Для цього 240 розділимо на 8 — 30 к. ціна пиріжка.

Далі вчитель пропонує дітям дізнатися, скільки насправді грошей витратили Сашко І Михайлик. Для дітей це не викличе труднощів, бо вони вже мають досвід роботи з трійкою пропорційних величин: ціна, кількість, вартість. Помноживши 30 на 5, а потім — на 3, вони дізнаються, що Сашко витратив

150 к., а Михайлик — 90.

— По скільки копійок вони мають витратити?

— По 80 к.

—  Згадайте, скільки грошей витратив кожний із хлопчиків. Визначте, як треба розподілити гроші, які дав хлопцям Роман.

— Сашкові треба повернути 150 — 80 = 70 к., а Михайликові: 90-80= 10 к.

Вчитель має ще раз наголосити, що такий розподіл буде справед­ливим, бо за такого розподілу витрати кожного будуть однаковими. У зошиті діти мають оформити розв'язання так:

1) 80 • 3 = 240 (к.) — 8 пиріжків з м'ясом;

2) 240 : 8 = 30 (к.) — ціна пиріжка;                                     

3) 30 • 5 = 150 (к.) — витратив Сашко.

4) 30 • 3 = 90 (к.) — витратив Михайлик;

5)  150 - 80 = 70 (к.) — необхідно повернути Сашкові;

6) 90 - 80 = 10 (к.) — необхідно повернути Михайликові. Відповідь: 70 к., 10 к.

Потім обов'язково слід перевірити, чи повернені гроші в сумі скла­дають 80 к.: 70 + 10 = 80 к. Це показник того, що задача розв'язана правильно.

Але в учнів не повинно скластися враження, що повертати гроші (інші  предмети) треба обов'язково двом діючим особам. Можна до­вести це, змінивши в умові задачі, яка щойно була нами розглянута, кількість пиріжків: нехай тепер Сашко купив 6 пиріжків, а Михай­лик — 2 таких самих пиріжки. Перші дві дії задачі будуть точно та­кі, як і в попередній, тому їх можна не записувати. Не викличе труд­нощів виконання третьої і четвертої дій задачі. Учні їх одразу запису­ють у зошит:

3) 30 • 6 = 180 (к.) — витратив Сашко;          

4) 30 • 2 = 60 (к.) — витратив Михайлик.              

Потім діти легко визначають суму грошей,: яку, треба повернутиСашкові, і записують п'яту дію задачі:        

5) 180 - 80 = 100 (к.) — необхідно повернути Сашкові.

Після цього вчителеві бажано так побудувати проблемно-пошуко­вий діалог з учнями:

— Де ж взяти таку суму грошей? Адже Роман залишив хлопцям тільки 80 к.?

— Всі гроші Романа слід віддати Сашкові.

— Скільки ще грошей треба віддати Сашкові?

— Йому потрібно віддати 100 - 80 = 20 к.

— Де взяти ще 20 к. ?

Якщо учні не зможуть самостійно відповісти на це запитання, вчи­тель має звернути їхню увагу на витрати Михайлика.

— Скільки грошей витратив Михайлик?

— 60 к.

— Скільки грошей він мав витратити?

— 80 к.

Тепер учні вже можуть зробити висновок, що саме 20 к. (80 - 60) Михайлик повинен віддати Сашкові. Отже, розподіл грошей буде та­ким:

всі 80 к. Роман віддає Сашкові та 20 к. Михайлик віддає Саш­кові.

Класовод має обов'язково зазначити, що саме такий розподіл грошей буде справедливим, бо витрати кожного становитимуть 80 к. У зошити діти записують ще одну дію і відповідь:

6) 80 - 60 = 20 (к.) — Михайлик повертає Сашкові.

В і д п о в і д ь: 80 к. Роман має віддати Сашкові та ще 20 к. Михай­лик повертає Сашкові.

1.5. Методика роботи над задачами на знаходження компонентів при відомих значеннях суми, різниці.

З метою закріплення вміння табличного і позатабличного множен­ня й ділення можна ознайомити учнів із задачами на знаходження компонентів при відомих значеннях суми, різниці. У цьому виді ло­гічних задач предметне коло являє собою сукупність предметів (пере­важно живих), які пов'язані між собою відношеннями «більше», «менше», які вбирають у себе за змістом відношення «старший», «мо­лодший» (більше або менше років); «ближче», «далі» (більша або менша відстань) тощо. Ці відношення зображені за допомогою число­вих значень: на... більше (менше) або в ... разів більше (менше).

У процесі роботи над цим видом задач діти вдосконалюють уміння самостійно визначати певний порядок розміщення предметів, розумі­ючи зміст відношень «більше», «менше». Це підготовчий етап роботи. Першими учням мають бути представлені задачі, в умові яких є тіль­ки дві діючі особи, а відношення «більше», «менше» між кількістю предметів цих осіб показані за допомогою числових значень: на ... більше (менше). Для колективного розбору можна запропонувати таку задачу:

• У Петра та Сергія разом 20 марок. У Сергія на 4 марки біль­ше, ніж: у Петра. Скільки марок у кожного з хлопчиків?

Почати роботу над цією задачею бажано з графічної ілюстрації умови (другий етап). Діти вже вміють це робити. Тому вчитель їм на­гадує: кількість марок у кожного хлопчика можна показати за допо­могою умовних відрізків: чим більше марок, тим вищий відрізок. Ви­соту першого відрізка (наприклад, марки Петра) діти визначають довільно.

— Що нам відомо про марки Сергія?

— їх на 4 більше, ніж у Петра.

— Що це означає? Як по-іншому можна сказати про марки Сергія?

— У Сергія стільки ж марок, скільки у Петра та ще 4.

— Якої висоти буде другий відрізок?

— Він буде вищим, ніж перший.

— Що нам ще відомо за умовою задачі?

— У Петра і Сергія разом 20 марок.

— Зрівняємо кількість марок Сергія з кількістю марок Петра.

— Якщо у хлопчиків буде однакова кількість марок, то скільки марок у них стане разом?

— Сума марок Петра і Сергія зменшиться на 4, тобто у них стане

разом 16 марок.

— Чию кількість марок можемо знайти точно?

Якщо дітям важко відповісти на це запитання, то вчитель ставить ще таке: «Кількість марок кого з хлопчиків ми не змінювали при зрівнюванні?»

— Петра. Ми зменшували кількість марок Сергія.

Тепер діти зможуть сказати, що знайдемо кількість марок Петра. Вчителю необхідно звернути увагу учнів на те, що 16 марок — це су­ма марок Петра і Сергія, якщо у кожного їх однакова кількість. Піс­ля цього діти зможуть сказати, що треба 16 поділити навпіл, тобто на 2. Отже, 8 марок було у Петра.

— Як дізнатися про кількість марок Сергія?

 -  Для цього треба до 8 додати 4. У Сергія було 12 марок. Учні формулюють відповідь: у Петра було 8 марок, у Сергія — 12.

1.6. Методика роботи над комбінованими задачами з логічним навантаженням.

Після того, як учитель ознайомить учнів з трьома (чотирма) вида­ми задач з логічним навантаженням, він може пропонувати комбіно­вані задачі. Розглянемо декілька таких задач:

1. Микола та Іван грали в шашки. Іван задумався над своїм ходом, а Микола полічив, що на дошці з 64 клітинок порожніх утричі більше, ніж зайнятих, і що у нього па 2 шашки більше, ніж: у Івана. Скільки шашок у кожного з них на даний момент?

Методичні рекомендації щодо розв'язання. Це задача на знаход­ження компонентів при відомому значенні суми, але її можна вважати комбінованою, бо у змісті відношення між предметами подано за допо­могою числових значень: на ... більше (менше) і в ... разів більше (мен­ше). Для того, щоб знайти кількість зайнятих клітинок (іншими сло­вами: кількість шашок, які є на дошці у Миколи та Івана разом), учні аналізують відношення: «в... разів більше (менше)». Діти міркують так: «Нехай зайняті клітинки складають 1 частину всіх клітинок, які є на дошці. Тоді порожніх клітинок — 3 частини. Разом 4 частини це є 64 клітинки. Отже, 64 : 4 = 16 зайнятих клітинок. Це означає, що у Миколи та Івана разом є 16 шашок». Після цього діти аналізують від­ношення «на... більше (менше)». Вони можуть міркувати по-різному. Один із варіантів: учні зрівнюють кількість шашок Миколи з кількіс­тю шашок Івана. Для цього вони від 16 віднімають 2. Отже, 14 шашок було б разом у хлопців, якщо у кожного була б однакова кількість ша­шок. Потім треба 14 розділити на 2. Дуже важливо, щоб діти самостій­но визначили, що 7 шашок було в Івана, бо саме кількість його шашок ми не змінювали під час зрівнювання. Отже, у Миколи було 9 шашок. Другий варіант міркування полягає в тому, що учні зрівнюють кіль­кість шашок Івана з кількістю шашок Миколи. Поступово вони зна­ходять, що у Миколи (16 + 2): 2 = 9 шашок. Учителю слід обов'язко­во запитати: «Чому саме у Миколи 9 шашок?» Учні відповідають так: «Кількість шашок, які були у Миколи, ми не змінювали під час зрів­нювання». Отже, в Івана було: 9-2 = 7 шашок.

2. На двох кущах сиділо 25 горобців. Після того, як з першого ку­ща перелетіло на другий 5, а з другого злетіло 7 горобців, то на пер­шому кущі залишилося вдвічі більше горобців, ніж на другому. Скільки горобців було на кожному кущі спочатку?

Методичні рекомендації щодо розв'язання. Ця задача комбінова­на, бо за змістом можна виділити два види задач:

•      задача, яка розв'язується з кінця;

•      задача на знаходження компонентів при відомому значенні суми, де відношення між предметами подано за допомогою числових значень: у ... разів більше (менше).

Труднощі у дітей може викликати те, що, за умовою задачі, невідо­ма сума — кількість горобців, яка залишилася на двох кущах. Вчи­тель має спрямувати увагу учнів на те, що спочатку треба знайти цю суму. Після аналізу умови (7 горобців полетіло) діти встановлюють, що на двох кущах залишилося: 25 - 7 = 18 горобців. Аналізуючи від­ношення: «на першому кущі залишилося вдвічі більше горобців, ніж на другому», учні приймають за 1 частину кількість горобців, які за­лишилися на другому кущі, відповідно — 2 частини — на першому ку­щі. Отже, 3 частини — 18 горобців. Застосовуючи вміння ділити на рівні частини, учні з'ясовують, що на другому кущі залишилося 6 го­робців. Потім знаходять, що на першому кущі залишилося 12 гороб­ців. Подальше розв'язання задачі краще оформити в таблиці.

Перший кущ	Другий кущ
12	6
12 + 5= 17	6-5 + 7 = 8

Отже, спочатку на першому кущі було 17 горобців, на другому — 8. Потім необхідно перевірити правильність розв'язання, міркуючи від знайдених чисел.

3. У Сергійка у правій та лівій кишенях разом було 35 к. Якщо з правої кишені перекласти у ліву стільки копійок, скільки було у лівій, то у правій кишені залишиться на 3 к. більше, ніж у лівій. Скільки ко­пійок було у Сергійка спочатку у кожній кишені?

Методичні рекомендації щодо розв'язання. Ця задача відрізняєть­ся від попередньої тільки тим, що відношення між предметами пода­но за допомогою числових значень: на ... більше (менше). Знайти кількість копійок, які залишилися у кожній кишені після перекла­дань, учні можуть по-різному. В учнівських зошитах початок розв'язання може бути таким:

Перший спосіб

1) 35 - 3 = 32 (к.) — разом, але порівну в кожній кишені;

2) 32 : 2 = 16 (к.) — у лівій кишені;

3)  16 + 3 = 19 (к.) — у правій кишені.

Другий спосіб

1) 35 + 3 = 38 (к.) — разом, але порівну в кожній кишені;

2) 38 : 2 = 19 (к.) — у правій кишені;

3)  19 - 3 = 16 (к.) — у лівій кишені.

Подальше розв'язання задачі краще оформити у таблиці.

Права кишеня	Ліва кишеня
19	16
19 + 8 = 27	16:2 = 8

Отже, спочатку у правій кишені було 27 копійок, у лівій — 8. По­тім необхідно перевірити правильність розв'язання, міркуючи від знайдених чисел.

2. САМОСТІЙНІ РОБОТИ З САМОПЕРЕВІРКОЮ

2.1 Задачі на планування найгіршого варіанта.

1. У шухляді лежать олівці: 9 червоних і б синіх, їх беруть навман­ня. Скільки треба вийняти олівців, щоб серед них обов'язково були 3 червоні та 4 сині?

Розв'язання. Виймаємо всі червоні, бо їх найбільше, а потім — ще 4 сині олівці. Отже, 9 + 4=13 олівців.

2.  У коробці лежать 100 різнокольорових кульок: 30 синіх, 30 чер­воних, 30 зелених і 10 чорних. Скільки кульок треба вийняти із короб­ки, не зазираючи туди, щоб серед вийнятих обов'язково були 4 кульки одного якогось кольору?

Розв'язання. Виймаємо по 3 кульки кожного кольору, а потім — ще одну кульку, яка і буде четвертою до якогось кольору. Отже, 3 4 + 1 = 13 кульок.

3.  У коморі стоять 20 банок з варенням. Вісім банок з полуничним варенням, сім — з малиновим, а п'ять — з аґрусовим. Скільки банок треба винести у темряві з комори, щоб серед них обов'язково були:

а)  5 банок малинового варення?

б)  3 банки одного якогось виду?

в)  по 2 байки кожного виду?

Розв'язання.                                                      

а) Виймаємо всі банки з варенням, окрім малинового, потім — ще 5 банок малинового. Отже, 8 + 5 + 5 = 18 банок. Рекомендуємо запро­понувати учням знайти значення виразу зручним способом; викорис­товуємо сполучну властивість додавання: 8 +(5+ 5) = 8 +10 =18 (б.);

б) 2 • 3 + 1 = 7 (б.);

в) виймаємо всі банки з полуничним варенням, бо їх найбільше, потім — усі з малиновим, бо їх трохи менше, і, врешті-решт — 2 бан­ки з аґрусовим. Отже, 8 + 7 + 2=17 банок. Рекомендуємо запропо­нувати учням знайти значення виразу зручним способом; використо­вуємо переставну і сполучну властивість додавання: 8 + 7 + 2 = = (8 + 2) +7 = 17(6.).

4.  Є 5 валіз і 5 ключів від них. Але невідомо, який ключ від якої валі­зи. Скільки спроб треба зробити у найгіршому випадку, щоб дібрати до кожної валізи свій ключ?

Розв'язання. У найгіршому варіанті перший ключ знаходить свою валізу за 4 спроби, другий — за 3, третій — за 2, четвертий — за 1, п'ятий підходить одразу до тієї валізи, яка залишилася. Отже, 4 + 3 + 2+1 = 10 спроб.

5. На картонках написані двоцифрові числа. Скільки карток треба взяти, не дивлячись на них, щоб одне з чисел ділилося на 2?

Розв'язання. У найгіршому варіанті, виймаючи навмання кар­тки від 10 до 99, ми спочатку отримаємо тільки непарні числа — їх 45. Тому 46-те число обов'язково буде парним.

6. Данилко і Дениско — брати-близнюки. Вони носять речі одного розміру. Якось узимку ввечері вони вирішили покататися біля дому на санчатах. Коли хлопчики збиралися вже виходити з квартири, рапто­во в будинку погасло світло. Діти не встигли одягнути тільки рукавички. Дениско пам'ятав, на якій полиці у шафі лежать їхні рукавички. На полиці лежало поштучно 4 пари сірих і 7 пар чорних рукавичок. Скіль­ки рукавичок хлопчик має дістати з шафи навмання, щоб серед них обов'язково була пара рукавичок одного якогось кольору? Розв'язання. 4 + 7 + 1 = 12 (р.).

7.  У пакеті лежали цукерки однакові за формою і розміром: 7 цуке­рок «Білочка»,  4 цукерки «Червоний мак»,  9 цукерок «Грильяж:». Скільки цукерок навмання треба вийняти з пакета, щоб серед них обов'язково були:

а)  2 цукерки «Червоний мак»?

б)  по 2 цукерки кожного виду?

в)  3 цукерки одного якогось виду?

Розв'язання, а) 7 + 9 + 2 = 18 (ц.); б) 9 + 7 + 2 = 18 (ц.); в) 2 • 3 + 1 = 7(ц.).

8.  У шухляді письмового столу лежать 5 чорних, 12 зелених, 6 ко­ричневих та 10 синіх олівців. Навмання беруть по одному олівцю. Скільки олівців треба вийняти із шухляди, щоб серед них обов'язково було 2 чорних, 4 коричневі та 5 зелених?

Розв'язання. Виймаємо спочатку всі зелені олівці, бо їх най­більше, потім — всі сині, за ними — всі коричневі і, нарешті, — 2 чор­них. Отже, 12 + 10 + 6 + 2 = 30 (ол.).

9.  Мама напекла пиріжків: 9 — із сиром; 12 — із рисом; 14 — із м'ясом; 10 — із яблуками. Всі вони були однакові за формою і розмі­ром. Скільки пиріжків треба взяти, не розламуючи їх, щоб серед них обов'язково були:

а)  два пиріжки з м'ясом?

б)  по два пиріжки з різною начинкою?

в)  чотири пиріжки з однією будь-якою начинкою? Відповідь: а) 33 пиріжки; б) 38 пиріжків; в) 13 пиріжків.

2.2. Самостійне розв’язування задач, які розв’язуються з кінця.

1. Три друга-колекціонери —Денис, Сашко та Кирило — домовили­ся зіграти три партії в шахи за умови, що той, хто програє партію, додає іншим двом гравцям ще по стільки марок, скільки у кожного вже є. Зіграли три партії. Причому програв кожний: спочатку Денис, по­тім — Сашко, за ним — Кирило. Після цього у кожного з них залиши­лось по 24 марки. Скільки марок було у кожного з друзів спочатку?

Методичні рекомендації щодо розв'язання. Розв'язання цієї задачі бажано оформити в таблиці, яку заповнювати поступово у процесі розв'язування. Одразу, ще до того, як діти почнуть виконувати зада­чу, вони запишуть у кожний стовпчик таблиці число 24. Слід ще раз закцентувати увагу учнів на те, що починати міркування потрібно з кінця сюжету задачі, тобто з останньої події — програшу Кирила. Да­лі між учителем та учнями може відбутися приблизно такий діалог:

— Що нам відомо про кількість марок, яку Кирило має віддати своїм друзям?

—  Він віддав Денисові та Сашкові ще стільки марок, скільки у кожного вже є.

— Скільки марок після цього залишилось у кожного з друзів?

— Після цього у всіх залишилось по 24 марки.

— Чи можна стверджувати, що Денисові і Сашкові дісталася од­накова кількість марок?

— Можна, бо отримали вони по стільки марок, скільки у кожного з них було, а в результаті у них стала однакова кількість марок.

— Як дізнатися, по скільки марок отримали Денис і Сашко? Тут важливо, щоб учні пригадали, що означає «стільки, скільки»: у Дениса і Сашка вже була певна кількість марок і кожний з них от­римав ще стільки ж. Після цього у кожного з них стало по 24 марки. Учні вже можуть зробити висновок, що треба 24 розділити на дві рів­ні частини, тобто на 2. Отже, по 12 марок Кирило віддав Денисові і Сашку і, отже, у них було теж по 12 марок. Кирило віддав усього 12 + + 12-24 марки, тобто у нього було 24 + 24 = 48 марок. У другому рядку діти відповідно записують числа: 12, 12, 48.

Далі учні міркують аналогічно, коли знаходять кількість марок у третьому і четвертому рядках (програші відповідно Сашка і Дениса). В результаті одержимо таку таблицю:

Денис	Сашко	Кирило
24	24	24
12	12	48
6	42	24
39	21	12

Потім необхідно перевірити правильність розв'язання, міркуючи від знайдених чисел.

2. Мама Дем'яна принесла з ринку яблука. За сніданком Дем'ян зі своєю родиною з'їв половину куплених яблук та ще 2 яблука. За обідом та вечерею було з‘їдено половину яблук, які залишилися, та ще 4. По­тім половину нової решти та ще 1 яблуко мама віддала сусідці для начинки пирога. Після цього вдома залишилося 5 яблук. Скільки яблук мама купила на ринку?

Розв'язання. У цій задачі дії відбуваються послідовно (одна за одною). Тому розв'язання краще здійснити за діями у три кроки.

1) (5 + 1) • 2 = 12 (ябл.) — залишилося у родині після обіду і вечері;

2) (12 + 4) • 2 = 32 (ябл.) — залишилося після сніданку;

3) (32 + 2) • 2 = 68 (ябл.).

Відповідь: 68 яблук мама Дем'яна купила на ринку.

3. Мама залишила Вероніці цукерки на три дні. Першого дня Веро­ніка з "та половину всіх цукерок та ще одну. Другого дня — половину решти та ще 2 цукерки. Третього дня — половину нової решти і ос­танні 2 цукерки. Скільки цукерок залишила дівчинці мама?

Розв'язання.

1) (0 + 2) • 2 = 4 (ц.) — було на початку третього дня;

2) (4 + 2) • 2 = 12 (ц.) — було на початку другого дня; 

3) (12 + 1) • 2 = 26 (ц.).

Відповідь: 26 цукерок залишила дівчинці мама.

4.  16 паличок розподілили на дві нерівні купки. Коли з першої купки переклали у другу стільки паличок, скільки у цій другій було, а потім з другої переклали у першу стільки паличок, скільки в першій залишило­ся, то в обох купках паличок стало порівну. Скільки паличок було у кожній купці спочатку?

Розв'язання. Розв'язання цієї задачі краще здійснити у табли­ці, яка матиме такий вигляд:

Перша купка	Друга купка
8	8
4	12
10	6

2.3. Самостійне розв’язування задач на знаходження маси тіл.

1. Сергійко зловив велику рибину. На запитання однокласників, яка

маса риби, хлопчик відповів: «Маса хвоста 1 кг, маса голови така са­ма, як хвіст і половина тулуба, а маса тулуба така сама, як голова і хвіст разом». Яка маса всієї рибини?

Розв'язання. Г. = Хв. +Т. Т. = Г. + Хв. Звідси, Т.  = Хв. 4- Т. + Хв. Помноживши на 2 праву і ліву частини останньої рівності, отримаємо: 2 Т. = 2 Хв. + Т. + 2 Хв. Отже, Т. = 4 Хв. = 4 кг (маса хвоста 1 кг). Г. = 3 кг. Отже, маса всієї рибини: 3 + 4 + 1 = = 8(кг).

2. Дві чашки і два глечики важать стільки, скільки 14 блюдець. Один глечик важить стільки, скільки 1 чашка і 1 блюдце. Скільки тре­ба поставити блюдець на вільну шальку терезів, щоб урівноважити один глечик?

Розв'язання. 2 ч.+ 2 гл. = 14 бл.; 1 ч. + 1 бл. = 1 гл.

Зменшимо вдвічі обидві частини першої рівності. Отримаємо: 1 ч. + + 1 гл. = 7 бл. Звідси, 1 ч. + 1 ч. + 1 бл. = 7 бл.; 1 ч. = 3 бл. Отже, 1 гл. = 4 бл.

3.  Три бідони і три каструлі важать стільки, скільки 15 глечиків. Одна каструля важить стільки, скільки один бідон і один глечик. Скільки глечиків урівноважать одну каструлю?

Розв'язання. 36. + 3 к. = 15 гл.; 1 б. + 1 гл. = 1 к. Зменшимо втричі обидві частини першої рівності. Отримаємо: 1 б. + 1 к. = 5 гл. Звідси, 1 б. + 1 б. + 1 гл. = 5 гл.; 16. = 2 гл. Отже, 1 к. = 3 гл.

4. На одній шальці терезів 12 груш та 2 гирі, по 100 г кожна. На іншій — 4 груші та гирі: одна — 1кг та чотири — по 100 г кожна. Яка маса груші?

Розв'язання. Знімемо з правої та лівої частини терезів однако­ву масу — по 4 груші та 2 гирі, по 100 г кожна. Отримаємо: 8 гр. = = 1200 г. Зменшимо у 8 разів обидві частини рівності. Таким чином, маса груші: 150г.

2.4. Самостійне розв’язування задач на знаходження компонентів при відомих значеннях суми, різниці.

1.  Один чоловік має 6 синів. Один від другого старший на 4 роки, а найстарший із синів втричі старший від наймолодшого. Скільки років кожному з синів?

Розв'язання. Виходячи з умови задачі, найстарший на 20 років старший від наймолодшого. Наймолодшому 1 частина років, най­старшому — 3 частини. Отже, 3-1 = 2 (ч.) — 20 років. 20 : 2 = 10 ро­ків — одна частина або 10 років наймолодшому з братів. Іншим від­повідно: 14, 18, 22, 26 і 30 років.

2.  У шкільній залі сиділо 67 хлопчиків і 41 дівчинка. Діти сиділи у три ряди, причому в кожному ряду однакова кількість дітей. У пер­шому ряду хлопчиків сиділо в 5 разів більше, ніж дівчаток. У другому хлопчиків на 14 більше, ніж дівчаток. Скільки хлопчиків і скільки дів­чаток сиділо в кожному ряду?

Розв'язання. (67 +41): 3 = 36 (д.) — у кожному ряду. В першо­му ряду: 1 частина дітей—дівчатка, 5 частин — хлопчики. Отже, 6 час­тин — це 36 дітей. 36 : 6 = 6 (д.) — 1 частина, тобто дівчатка, 6 • 5 = 30 (д.) — хлопчики. У другому ряду: (36 — 14): 2 = 11 (д.) — дівча­ток, 11 + 14 = 25 (д.) — хлопчики. У третьому ряду: 67 - (30 + 25) = = 12 (д.) — хлопчики; 41 - (6 + 11) = 24 (д.) — хлопчики.

3.  Утрьох братів — 9 горіхів. У молодшого — на 1 горіх більше, а у старшого — на 1 горіх менше, ніж у середнього брата. Скільки го­ріхів у кожного з братів?

Розв'язання. Найменша кількість горіхів у старшого брата. Зрівнюємо кількість горіхів так, щоб у кожного з братів було стіль­ки, скільки у старшого.

1) (9 - 3) : 3 = 2 (г.) — у старшого брата;

2) 2 + 1 = 3 (г.) — у середнього брата;

3) 3 + 1 = 4 (г.) — у молодшого брата.

Відповідь:4 горіхи у молодшого брата, 3 горіхи у середнього, 2 горіхи у старшого.

4.  Порожня бочка вдвічі легша, ник олія, якою вона заповнена. Як розподілити певну кількість порожніх бочок і бочок з олією між дво­ма вантажними машинами, щоб на кожній вантажу було порівну?

Розв'язання. На одну з машин покласти втричі більше по­рожніх бочок, ніж на іншу бочок з олією.

5. Під час липового медозбору бджілка вилітає з вулика зі швидкіс­тю 4 м/с і повертається назад через 7 хвилин зі швидкістю 2 м/с. На якій відстані від вулика знаходиться липа, з якої бджілка бере мед?

Зауваження. Врахувати, що на збір меду з липи під час одного польоту бджілка витрачає 1 хвилину.

Розв'язання. Від вулика до липи бджілка летить 1 частину всьо­го часу, а назад — 2 такі частини, бо швидкість бджілки від липи до вулика вдвічі менша (4:2 = 2). На 3 частини часу припадає 6 хви­лин — саме стільки бджілка витрачає на весь шлях. Отже, 1 части­на часу: 6:3 = 2 хвилини (бджілка витрачає від вулика до липи). От­же, 4 • 120 = 480 метрів — відстань від вулика до липи. (2 хв = 120 с). Можна і по-іншому знайти цю відстань. А саме: 2-2 = 4 хвилини (240 с) — бджілка витрачає на шлях від липи до вулика. Отже, 2 • 240 = = 480 метрів. Таким чином, 480 метрів — відстань від вулика до липи.

6.  Мурашка була в гостях у сусідньому мурашнику. Туди вона йшла пішки, а назад їхала на черепасі. Пішки вона рухалася зі швидкістю 4м/с, а назад — зі швидкістю 20 м/с. На весь шлях вона витратила 50 хви­лин. У гостях вона була 8 хвилин. Яка відстань між мурашниками?

Розв'язання. 42 : 6 = 7 хв = 420 с — рухалася назад; 20 • 420 = = 8400 метрів — відстань між мурашниками. Або: 7 • 5 = 35 хв = = 2100 с — йшла у гості; 4 • 2100 = 8400 метрів.

Відповідь: 8400 м — відстань між мурашниками.

3.ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАВДАНЬ

1. Прочитайте умову задачі: «В шухляді лежать однакові за розмі­ром кульки. Відрізняються вони одна від одної тільки кольором: 12 сі­рих, 14 синіх, 10 жовтих, 16 червоних».

•      Сформулюйте три різні запитання до цієї умови.

2.  Поясніть причину помилок, яких припустилися учні в процесі розв'язування задач:

•       У шухляді лежать однакові за розміром кульки. Відрізняють­ся вони одна від одної тільки кольором: 7 білих, 12 синіх, 5 рожевих,16 жовтих, 14 коричневих. Скільки кульок треба вийняти із шухляди, не зазираючи в неї, щоб серед вийнятих кульок обов'язково були:

а) по 2 кульки кожного кольору; Розв'язання: 7 + 12 + 5 + 16 + 2 = 42 (к.)

б) по 9 кульок одного (будь-якого) кольору. Розв'язання: 8 • 5 + 1 = 41 (к.)

•       У темній кімнаті у шафі лежать поштучно 4 пари жовтих, З пари зелених та 7 пар чорних шкарпеток одного розміру. Скільки шкарпеток треба вийняти із шафи навмання, щоб серед них обов'яз­ково було:

а) пара шкарпеток одного (будь-якого) кольору; Розв'язання: 1 • 3 + 1 = 4 (шк.)

б) по одній парі шкарпеток кожного кольору. Розв'язання: 2- 4 + 2-3 + 7+1 = 22 (шк.)

•      Запропонуйте шляхи запобігання та усунення помилок.

3.   Сформулюйте висновок, який учні мають зробити після розв'язання такої задачі: «У шухляді лежать однакові за розміром кульки. Відрізняються вони одна від одної тільки кольором: 9 черво­них, 10 синіх, 15 білих, 6 чорних. Скільки кульок треба вийняти із шухляди не зазираючи в неї, щоб серед вийнятих кульок обов'язково було 5 синіх.

•      У якому класі можна запропонувати учням розв'язати цю за­дачу?

4. Наведіть пояснення учнів під час роботи над задачею: «В тем­ній кімнаті під диваном лежать поштучно 5 пар червоних та 8 пар чорних капців одного розміру. Скільки капців треба дістати з-під ди­вана навмання, щоб серед них обов 'язково було по 2 пари капців одного (будь-якого) кольору».

          5. Поясніть причину помилок, яких припустилися учні у процесі  розв'язування задачі: «За сніданком родина Вербицьких з’їла половину      куплених цукерок «Білочка» та 2 цукерки. За обідом — половину реш­ти та ще 3 цукерки. За вечерею — половину решти та останні 4 цукерки. Скільки цукерок було куплено?»         

Розв'язання.

1)  0•2 + 4 = 4 (ц.) — було перед вечерею;

2) 4 • 2 = 8 (ц.) — було перед обідом;

3) 8 • 2 + 2 + 3 = 21 (ц.) — було спочатку.

•      Запропонуйте шляхи запобігання та усунення помилок.

6. Розв'яжіть задачу: «24 палички розподілили на три нерівні купки. Коли з першої купки переклали у другу стільки паличок, скільки було у цій другій купці; потім — з другої переклали у третю купку стільки паличок, скільки було в цій третій; і, врешті-решт, з третьої перек­лали в першу стільки паличок, скільки в першій купці залишилося, то після цього паличок у всіх купках стало порівну. Скільки паличок було у кожній купці спочатку?»

•      Опишіть роботу вчителя з учнями на етапі аналізу (розбору) завдання, пошуку шляхів його розв'язання.

7. Наведіть пояснення учнів під час роботи над задачею: «Селянин прийшов до царя і попросив: «Царю, дозволь мені взяти 1 яблуко з тво­го саду». Цар дозволив. Пішов селянин до саду і бачить, що весь сад оточено потрійною огорожею. У кожному паркані є тільки одна бра­ма і біля кожної стоїть охоронець. «Цар дозволив мені взяти 1 яблу­ко з саду», — сказав селянин першому охоронцю. «Візьми, але коли ви­ходитимеш, віддаси мені половину яблук, які в тебе будуть, та ще од­не яблуко», — відповів охоронець. Те ж саме сказали й інші охоронці. Скільки яблук повинен взяти селянин з саду царя, щоб, віддавши вста­новлену кількість трьом охоронцям, принести додому 1 яблуко?»

8.  Поясніть причину помилок, яких припустилися учні у процесі розв'язування задачі: «У Сергія та Оленки разом 18 цукерок. У Оленки на 2 цукерки більше, ніж у Сергія. Скільки цукерок у кожного з дітей?»

Розв'язання.

1)  18:2 = 9(ц.) — У Сергія;

2) 9 + 2 = 11 (ц.) — в Оленки.

•      Запропонуйте шляхи запобігання та усунення помилок.

9. Наведіть пояснення учнів під час роботи над задачею: «У Дмитра та Дениса разом 28 різних конструкторів. У Дмитра конструкторів у 3 рази менше, ніжу Дениса. Скільки конструкторів є у кожного з хлопчиків?»

10. Якими знаннями і вміннями має володіти учень для розв'язу­вання такої задачі: «Сума десятків та одиниць деякого двоцифрового числа дорівнює 12. Кількість десятків даного числа втричі менша, ніж: кількість одиниць. Знайдіть це число».

11.  Розв'яжіть задачу: «Дідові, батькові та сину разом 121 рік. Батькові разом із сином 44 роки. Син на 28 років молодший від бать­ка. Скільки років діду, батькові та синові?»

•      Опишіть роботу вчителя з учнями на етапі аналізу (розбору) задачі, пошуку шляхів її розв'язання.

12.  Розв'яжіть задачу: «На двох кущах сиділо 25 горобців. Після того, як з першого куща перелетіло на другий 5, а з другого полетіло 7 горобців, то на першому кущі залишилось удвічі більше горобців, ніж на другому. Скільки горобців було на кожному кущі спочатку?»

•      Які види логічних задач поєднані у змісті цієї задачі?

•      Поясніть причину таких помилкових міркувань учня: «Цю за­дачу розв'язати неможливо. Ми не можемо дізнатися про кількість го­робців, що залишилась на кущах. Якщо на другому кущі залишилась 1 частина всіх горобців, то на першому — 2 частини. Разом на двох кущах — 3 частини або 25 горобців. Знаходимо кількість горобців, яку містить одна частина. Для цього 25 ділимо на 3. Але 25 на три без остачі не ділиться. Тому ми не можемо дізнатися, скільки горобців за­лишилось на другому кущі. Отже, не можемо розв'язати задачу».

•      Запропонуйте шляхи запобігання та усунення помилок.

13. Розв'яжіть задачу: «Пляшка і склянка врівноважуються глечи­ком. Пляшка важить стільки, скільки склянка і блюдце. Два глечики важать стільки, скільки три блюдця. Скільки треба поставити скля­нок на вільну шальку терезів, щоб врівноважити пляшку?»

•      Назвіть клас, у якому можна запропонувати учням розв'яза­ти цю задачу.

•      Опишіть роботу вчителя з учнями на етапі ознайомлення зі змістом задачі (роз'яснення змісту).

14. Розв'яжіть задачу: «Крокодил і павіан важать стільки, скільки дві діжки та диван. Павіан без крокодила важить дві корзини мила. Рівно шість корзинок мила важить велика чорна горила. Дві горили важать стільки, скільки три діжки. Одна горила важить рівно пів дивана. Скільки важить крокодил у перерахунку на горил?»

•      Опишіть роботу вчителя з учнями на етапі аналізу (розбору) задачі, пошуку шляхів її розв'язання.

15. Розв'яжіть задачу: «На одній шальці терезів 5 однакових яблук і 3 однакові груші. На другій — 4 таких самих яблука і 4 таких самих груші. Терези знаходяться в рівновазі. Що легше: яблуко чи груша?»

•      Поясніть причину таких помилкових міркувань учня: «Зніме­мо з однієї шальки терезів 3 яблука, а з другої — 2 груші, бо груша важча, ніж яблуко. Від цього рівновага не порушиться. Після цього на одній шальці залишиться 2 яблука і 3 груші, на другій — 4 яблука і 2 груші. Порівнюючи кількість груш і яблук на двох шальках, ми бачимо, що яблук на 2 більше, а груш — на 1. Отже, виходить, що яб­луко важче від груші».

•      Запропонуйте шляхи запобігання та усунення помилок.

16. Якими знаннями і вміннями з математики мають володіти уч­ні, щоб правильно розв'язати таку задачу: «Микола зловив велику щу­ку, її тулуб важить стільки, скільки голова і хвіст. А дві голови стільки, скільки тулуб і два хвости. Яка маса всієї рибини, якщо хвіст важить 2 кг?»

17. Поясніть причину помилок, яких припустилися учні у процесі розв'язування задачі: «Двоє друзів, гуляючи в парку, купили пакетики з горішками. Сашко купив 3 пакетики з горішками, а Кирило — 2 та­ких пакетики. До них у парку приєднався їхній однокласник Валентин. Діти з’їли всі горішки разом. Після цього Валентин віддав хлопцям 60 к., щоб вони розділили «справедливо». Як мають розділити ці гроші друзі?»

Розв'язання.

1) 60 : 5 = 12 (к.) — ціна пакетика з горішками;

2)  12 • 3 = 36 (к.) — витратив Сашко;

3)  12 • 2 = 24 (к.) — витратив Кирило;

4) 60 - 36 = 24 (к.) — віддати Сашкові;

5) 60 - 24 = 36 (к.) — віддати Кирилові.

•      Запропонуйте шляхи запобігання та усунення помилок.

18. Розв'яжіть задачу: «Трос однокласників: Сергійко, Данилко і Тарас народилися в один день, їхні батьки вирішили спільними зусил­лями закупити солодощі до дня народження, щоб пригостити всіх уч­нів класу. Батьки Данилка купили 3 рулети з вишневою начинкою, батьки Тараса — 2 таких самих рулети з полуничною начинкою. А батьки Сергійка свою долю витрат внесли грішми у сумі 15 грн. Як ці гроші мають розділити батьки Данилка і Тараса справедливо?»

•      Назвіть клас, у якому можна запропонувати учням розв'яза­ти цю задачу.

•      Опишіть роботу вчителя з учнями на етапі ознайомлення зі змістом задачі (роз'яснення змісту).

•      Який висновок мають зробити учні після розв'язання цієї задачі?

ПІСЛЯМОВА

Основна увага у методичних рекомендаціях приділена розвитку та вдосконаленню у студентів логічної культури, вміння логічно правильно міркувати, критично мислити.

У результаті успішного засвоєння теоретичного матеріалу і відпрацювання його на практиці студент зможе:

♦     виявляти основні поняття в тексті, з'ясовувати їх структуру, встановлювати відношення між ними;

♦    логічно правильно поділяти, класифікувати, визначати поняття;

♦     знаходити помилки у поділах, класифікаціях, визначеннях, кри­тикувати їх і не допускати в своїх міркуваннях;

♦      виявляти логічну структуру висловлювань і на підставі цьо­го витлумачувати їх;

♦       міркувати відповідно до законів логіки; знаходити помилки в текстах і міркуваннях інших людей, пов'язані з їх порушенням;

♦       аналізувати запитально-відповідні ситуації, логічно корект­но задавати запитання і давати відповіді на них;

♦    виявляти міркування, вихідні положення і наслідки, що містять­ся в тексті;

♦       виводити раціональні висновки а наявної інформації відпо­відно до правил і законів логіки;

♦       логічно грамотно будувати свої міркування і знаходити по­милки в міркуваннях опонентів;

♦       конструювати коректну аргументацію;

♦       переконливо критикувати аргументацію опонента;

♦       уникати типових помилок в аргументацій та критиці;

♦     розпізнавати прийоми маніпулювання співрозмовником і про­тистояти ним.

Оволодіння навичками логічного мислення має особливе значен­ня для вчителів, специфіка роботи яких полягає у постійному засто­суванні логічних прийомів і методів: визначень, класифікацій, поділів, аргументацій, спростувань тощо.

Знання логіки значно допомагає вчителеві:

♦       аналізувати математичну  термінологію;

♦       застосовувати логічні методи у процесі вивчення математики;

♦      застосовувати методи логіки для дослідження наукових про­блем у математиці.

ЛІТЕРАТУРА

1.   Андреев В.И. Диалектика воспитания й самовоспитания творческой личности. — Казань, 1988. — 228 с.

2.   Аменицкий   Н.Н.,   Сахаров   И.П. Забавная арифметика. — СПб, 1996.— 157с.

3.   Беденко М.Б. Ну, очень ... задачник. — К., 1996. — 112с.

4.   Гісь О., Яцків О. В Країні Міркувань: Посібн. з розвитку логічного і творчого мислення учнів 1 — 4 кл. — Львів, 2001. — 272 с.

5.   Игнатьев  Е.Й. В царстве смекалки, или Арифметика для всех. — Ростов н/Д, 1995.— 616с.

6.   Климченко Д.В. Збірник вправ з математики для початкових кла­сів.—К., 1987. — 87с.

7.   Кушнір І. А., Фінкельштейн Л. П. Приклади й задачі для кміт­ливих і ледачих. Для учнів 1—3 класів та їхніх батьків. — К., 1997. — 204 с.

8.   Митник  О.Я. Логіка на уроках математики. Методика роботи над завданнями з логічним навантаженням у курсі математики початкових класів.—К, 2004.—104с.

9.   Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. — М., 1996. — 152с.

10. Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников. — М., 1990.— 77с.

11 Сисоєва С.О. Підготовка вчителя до формування творчої особистос­ті учня.—К., 1997.—484с.

12. Перельман Я.Й. Занимательная арифметика. Загадки й диковинки в мире чисел. — М., 1994. — 207 с.

13. Фока  Л.І. Математичні диктанти для початкових класів. — К., 1970.—67с.